Conjectura de Poincaré

Consideremos uma banda elástica com a forma duma linha fechada.
Suponhamos que se estica essa banda elástica sobre a superfície duma bola de futebol e depois se deixa encolher até se reduzir a um único ponto, movendo-se lenta e continuamente, sem rasgar e sem deixar de estar sobre a superfície.
Por outro lado, imagine-se que a mesma banda elástica foi esticada sobre a superfície dum donut. Então, não a conseguimos encolher até a reduzir a um único ponto, sem quebrar o elástico, ou o donut, ou tirar elástico de cima da superfície do donut.
Diz-se que a superfície da bola é simplesmente conexa, mas a superfície do donut não é.
Esta é uma maneira prática de visualizar este conceito mas que em matemática pode ser definido mais rigorosamente.

O conceito de “simplesmente conexo” aqui exemplificado para superfícies (variedades de dimensão 2) contidas no espaço R3 pode ser generalizado a dimensões maiores. A superfície duma bola de futebol é de dimensão 2, embora contida num espaço de dimensão 3 e diz-se uma 2-esfera, S2. Analogamente se pode considerar uma 3-esfera, S3, que está contida num espaço a 4 dimensões (o conjunto dos pontos a quatro dimensões à distância 1 da origem).

Nada disto se modificava se em vez da superfície duma bola de futebol fosse a superfície uma bola de rugby, ou outra parecida, mas sem “buracos”. O que está aqui em causa são as propriedades topológicas das superfícies.
A topologia (do Grego: tópos, lugar + lógos, estudo, tratado) é a disciplina matemática que estuda as formas ou mais correctamente, os espaços topológicos.
Podemos desembrulhar uma caixa e planificar o seu papel de embrulho. A superfície em si é bidimensional, mas pode ser deformada, curvada, de modo a dar um objecto tridimensional.
A topologia estuda que propriedades são preservadas durante estas deformações. Por exemplo, ao apresentar um mapa do metro, está-se a distorcer a verdadeira disposição geográfica das estações. Apenas as propriedades topológicas são mantidas, como a ordem das estações. As propriedades geométricas, como a verdadeira distância entre as estações, ou o ângulo entre as linhas, perdem-se.

Assim, topologicamente, um donut e uma chávena são a mesma superfície. Passa-se duma para outra por uma simples deformação (uma homotopia) que preserva as propriedades topológicas. Ver aqui.

Poincaré (1854-1912), há cerca de 100 anos conjecturou se esta propriedade de a esfera de dimensão 2 ser simplesmente conexa se manteria para a esfera de dimensão 3. Isto é, se qualquer variedade compacta e simplesmente conexa de dimensão 3 será homeomórfica à esfera S3, ou melhor, se existe um homeomorfismo (aplicação contínua, bijectiva e com inversa contínua) entre toda a variedade-3 que é homotopicamente equivalente a uma esfera-3 e ela própria.

Esta questão revelou-se extremamente difícil. Desde então os matemáticos têm-se esforçado por descobrir a resposta e o problema foi alvo dum prémio, The Clay Mathematics Institute of Cambridge, Massachusetts (CMI)
O cientista russo Grigori Perelman anunciou ter descoberto a solução do enigma em 2002, mas nunca publicou os resultados completos das suas investigações, tendo-se limitado a divulgar documentos preliminares em 2002 e 2003. Como Perelman sempre se escusou a participar em actos públicos e a apresentar neles a solução do problema, dois cientistas chineses prosseguiram o seu trabalho e afirmam terem chegado à solução com a ajuda do matemático norte-americano Richard Hamilton. Zhu Xiping e Cao Huaidong publicaram um artigo no Asian Journal of Mathematics, apresentando uma demonstração completa da Conjectura de Poincaré, promulgada em 1904 pelo matemático francês Henri Poincaré.

A demonstração desta Conjectura poderá ajudar a compreender a forma do cosmos ou a catalogar todas as formas tridimensionais do Universo. Trata-se de um dos sete "Problemas do Milénio" estabelecidos pelo Instituto Clay de Massachussetts (Estados Unidos), que oferece um milhão de dólares de prémio a quem os resolver. Para que um trabalho possa receber o prémio, tem de ser publicado por uma revista científica e ser submetido a dois anos de revisões, o que não aconteceu no caso de Perelman.